Calculadora de Matrices

Multiplicación de matrices A × B: Resultado[i][j] = suma(A[i][k] × B[k][j]) para todo k. Requiere: columnas de A = filas de B. Tamaño del resultado: filas de A × columnas de B. Ejemplo: 2×3 × 3×2 = resultado 2×2. NO es conmutativa: A×B ≠ B×A en general. Cálculo de elemento: para A (2×2) × B (2×2): resultado[0][0] = A[0][0]×B[0][0] + A[0][1]×B[1][0]. Complejidad temporal: O(n³) para matrices n×n (Strassen: O(n^2,807), raramente usado en la práctica para matrices pequeñas).

El determinante (det o |A|) es un valor escalar que codifica ciertas propiedades de la matriz. Para 2×2: det([[a,b],[c,d]]) = ad − bc. Para 3×3: expansión de cofactores. Propiedades: det = 0: la matriz es singular (no invertible). det ≠ 0: la matriz es invertible. det(A×B) = det(A) × det(B). det(Aᵀ) = det(A). det(kA) = kⁿ × det(A) para matriz n×n. Interpretación geométrica: |det| = volumen del paralelepípedo formado por los vectores columna. El signo determina la orientación. Usado en: la regla de Cramer para resolver sistemas lineales, productos vectoriales, cambio de variables en integrales.

La transpuesta Aᵀ gira la matriz sobre su diagonal principal — las filas se convierten en columnas. (Aᵀ)[i][j] = A[j][i]. Propiedades: (Aᵀ)ᵀ = A. (A + B)ᵀ = Aᵀ + Bᵀ. (AB)ᵀ = BᵀAᵀ (observe la inversión). (kA)ᵀ = kAᵀ. Matriz simétrica: A = Aᵀ (p. ej., la matriz identidad). Matriz ortogonal: AᵀA = I (transpuesta = inversa). Aplicaciones: la transpuesta aparece en la regresión de mínimos cuadrados (XᵀX)⁻¹Xᵀy, la retropropagación de redes neuronales y las matrices de covarianza.

La matriz identidad I tiene 1s en la diagonal y 0s en todo lo demás. Para 3×3: [[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]. Propiedades: A × I = I × A = A (identidad multiplicativa). det(I) = 1. Iᵀ = I. I es el análogo matricial del número 1 en la multiplicación escalar. Inversa de una matriz: A⁻¹ es la matriz donde A × A⁻¹ = I. Solo las matrices cuadradas con determinante no nulo son invertibles. Para 2×2: A⁻¹ = (1/det) × [[d,-b],[-c,a]] donde A = [[a,b],[c,d]].

Para la matriz cuadrada A: el vector propio v y el valor propio λ satisfacen Av = λv. El vector propio es una dirección que solo se escala (no se rota) por la matriz. Los valores propios se encuentran mediante: det(A − λI) = 0 (ecuación característica). Para la matriz 2×2: esto da una ecuación cuadrática → 2 valores propios (posiblemente complejos). Aplicaciones: PCA (análisis de componentes principales) en aprendizaje automático usa los vectores propios de la matriz de covarianza. El algoritmo PageRank es un problema de vectores propios. Mecánica cuántica: los observables son valores propios de operadores. Teoría de grafos: el agrupamiento espectral usa vectores propios de la matriz de adyacencia/laplaciana.