Solucionador de Ecuaciones Cuadráticas

Una ecuación cuadrática es una ecuación polinómica de grado 2: ax² + bx + c = 0, donde a ≠ 0. El término "cuadrática" proviene de "quadratum" (latín: cuadrado). Ejemplos: x² − 5x + 6 = 0, 2x² + 3x − 2 = 0, x² + 1 = 0. Aplicaciones en el mundo real: movimiento proyectil (altura = −16t² + vt + h₀), maximización de beneficios (curvas de ingresos − costos), problemas de área (rectángulo con área dada), física (aceleración, fuerza). Toda ecuación cuadrática tiene exactamente 2 raíces (contando multiplicidad), que pueden ser reales o complejas.

Para ax² + bx + c = 0: x = [−b ± √(b² − 4ac)] / (2a). El "±" da dos soluciones: x₁ = (−b + √discriminante) / 2a y x₂ = (−b − √discriminante) / 2a. Derivación completando el cuadrado: ax² + bx + c = 0 → x² + (b/a)x = −c/a → (x + b/2a)² = (b² − 4ac)/(4a²) → x = (−b ± √(b²−4ac))/(2a). Descubierta independientemente por Al-Juarismí (~820 d.C.) y otros. El discriminante b²−4ac determina la naturaleza de las raíces.

Discriminante (Δ) = b² − 4ac. Si Δ > 0: dos raíces reales distintas. La parábola corta el eje x en dos puntos. Si Δ = 0: una raíz real repetida (raíz doble). La parábola toca el eje x exactamente en un punto (vértice). Si Δ < 0: dos raíces complejas conjugadas (a ± bi). La parábola no corta el eje x. Ejemplo: x² − 5x + 6 = 0 → Δ = 25 − 24 = 1 > 0 → dos raíces reales (2 y 3). x² − 2x + 1 = 0 → Δ = 4 − 4 = 0 → una raíz (1). x² + 1 = 0 → Δ = 0 − 4 = −4 → raíces complejas (±i).

El vértice es el punto máximo o mínimo de la parábola y = ax² + bx + c. Coordenada x del vértice: h = −b/(2a) (eje de simetría). Coordenada y del vértice: k = c − b²/(4a) = f(h). Si a > 0: la parábola se abre hacia arriba, el vértice es un mínimo. Si a < 0: la parábola se abre hacia abajo, el vértice es un máximo. Forma del vértice: y = a(x − h)² + k. La coordenada x del vértice es también el promedio de las dos raíces: h = (x₁ + x₂)/2. Por las fórmulas de Vieta: x₁ + x₂ = −b/a y x₁ × x₂ = c/a.

Para ax² + bx + c = 0 con raíces x₁, x₂: Suma de raíces: x₁ + x₂ = −b/a. Producto de raíces: x₁ × x₂ = c/a. Esto permite reconstruir la ecuación a partir de sus raíces: ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). Aplicaciones: verificar sus respuestas rápidamente (la suma y el producto deben coincidir). Factorizar cuadráticas mentalmente: para x² + bx + c = 0, encuentre dos números que sumen b y cuyo producto sea c. Ejemplo: x² − 5x + 6 = 0 → necesita números que sumen 5 y cuyo producto sea 6 → 2 y 3. Entonces x² − 5x + 6 = (x−2)(x−3).