Calculatrice PGCD et PPCM
Calculez le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) et le Plus Petit Commun Multiple (PPCM) de deux ou plusieurs nombres. Affiche l'algorithme euclidien étape par étape.
Comment utiliser Calculatrice PGCD et PPCM
- 1Entrez deux ou plusieurs nombres séparés par des virgules.
- 2Visualisez le PGCD (plus grand commun diviseur) instantanément.
- 3Visualisez le PPCM (plus petit commun multiple) instantanément.
- 4Développez la section étape par étape pour voir l'algorithme euclidien.
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Convertissez entre les timestamps Unix et les dates lisibles. Affichez ISO 8601, UTC, l'heure locale et l'heure relative.Questions fréquemment posées
Qu'est-ce que le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) ?▾
Le PGCD de deux entiers ou plus est le plus grand entier positif qui les divise tous sans reste. Exemples : PGCD(12, 8) = 4 ; PGCD(15, 25) = 5 ; PGCD(7, 13) = 1 (premiers entre eux). Le PGCD est utilisé pour simplifier les fractions (diviser le numérateur et le dénominateur par PGCD), en cryptographie RSA, en trouvant les plus petits communs multiples, et en arithmétique modulaire.
Qu'est-ce que le PPCM (Plus Petit Commun Multiple) ?▾
Le PPCM de deux entiers ou plus est le plus petit entier positif divisible par tous. Exemples : PPCM(4, 6) = 12 ; PPCM(3, 7) = 21 ; PPCM(12, 18) = 36. Le PPCM est utilisé pour trouver les dénominateurs communs lors de l'ajout de fractions, la planification d'événements récurrents (deux bus qui arrivent toutes les 15 et 20 minutes se rencontrent tous les PPCM(15, 20) = 60 minutes), et en arithmétique modulaire.
Qu'est-ce que l'algorithme euclidien ?▾
L'algorithme euclidien (300 av. J.-C.) calcule efficacement le PGCD. pgcd(a, b) = pgcd(b, a mod b), avec pgcd(a, 0) = a. Exemple : pgcd(48, 18) : 48 = 2×18 + 12 ; 18 = 1×12 + 6 ; 12 = 2×6 + 0 → PGCD = 6. L'algorithme s'exécute en O(log(min(a,b))) temps. L'algorithme GCD binaire (algorithme de Stein, 1967) utilise les opérations bit et est plus rapide sur les processeurs sans division matérielle.
Quelle est la relation entre PGCD et PPCM ?▾
Pour deux entiers positifs a et b : PGCD(a, b) × PPCM(a, b) = a × b. Donc PPCM(a, b) = (a × b) / PGCD(a, b). Cela évite de calculer PPCM séparément. Pour plus de deux nombres, calculez itérativement : PGCD(a, b, c) = PGCD(PGCD(a, b), c) ; PPCM(a, b, c) = PPCM(PPCM(a, b), c). C'est parce que PGCD et PPCM sont des opérations associatives.
Que signifie PGCD = 1 ?▾
Quand PGCD(a, b) = 1, les nombres sont premiers entre eux (ou relativement premiers) — ils ne partagent aucun facteur commun à part 1. Exemples : 8 et 9 sont premiers entre eux ; 15 et 28 sont premiers entre eux. En théorie des nombres, les paires premiers entre eux sont fondamentales : la fonction d'Euler totient, la génération de clé RSA (e et φ(n) doivent être premiers entre eux), les inverses modulaires, et le théorème du reste chinois tous exigent la primalité. La fraction a/b est aux termes les plus bas si et seulement si PGCD(a, b) = 1.