Solveur d'équations quadratiques

Une équation quadratique est une équation polynomiale de degré 2 : ax² + bx + c = 0, où a ≠ 0. Le terme « quadratique » vient de « quadratum » (Latin : carré). Exemples : x² − 5x + 6 = 0, 2x² + 3x − 2 = 0, x² + 1 = 0. Applications du monde réel : mouvement de projectile (hauteur = −16t² + vt + h₀), maximisation du profit (courbes revenu − coût), problèmes de surface (rectangle avec surface donnée), physique (accélération, force). Chaque quadratique a exactement 2 racines (comptant la multiplicité), qui peuvent être réelles ou complexes.

Pour ax² + bx + c = 0 : x = [−b ± √(b² − 4ac)] / (2a). Le « ± » donne deux solutions : x₁ = (−b + √discriminant) / 2a et x₂ = (−b − √discriminant) / 2a. Dérivation par complétion du carré : ax² + bx + c = 0 → x² + (b/a)x = −c/a → (x + b/2a)² = (b² − 4ac)/(4a²) → x = (−b ± √(b²−4ac))/(2a). Découverte indépendamment par Al-Khwarizmi (~820 AD) et d'autres. Le discriminant b²−4ac détermine la nature des racines.

Discriminant (Δ) = b² − 4ac. Si Δ > 0 : deux racines réelles distinctes. La parabole croise l'axe des x en deux points. Si Δ = 0 : une racine réelle répétée (racine double). La parabole touche l'axe des x en exactement un point (sommet). Si Δ < 0 : deux racines complexes conjuguées (a ± bi). La parabole ne croise pas l'axe des x. Exemple : x² − 5x + 6 = 0 → Δ = 25 − 24 = 1 > 0 → deux racines réelles (2 et 3). x² − 2x + 1 = 0 → Δ = 4 − 4 = 0 → une racine (1). x² + 1 = 0 → Δ = 0 − 4 = −4 → racines complexes (±i).

Le sommet est le point maximum ou minimum de la parabole y = ax² + bx + c. Coordonnée x du sommet : h = −b/(2a) (axe de symétrie). Coordonnée y du sommet : k = c − b²/(4a) = f(h). Si a > 0 : la parabole s'ouvre vers le haut, le sommet est un minimum. Si a < 0 : la parabole s'ouvre vers le bas, le sommet est un maximum. Forme du sommet : y = a(x − h)² + k. La coordonnée x du sommet est aussi la moyenne des deux racines : h = (x₁ + x₂)/2. Par les formules de Vieta : x₁ + x₂ = −b/a et x₁ × x₂ = c/a.

Pour ax² + bx + c = 0 avec racines x₁, x₂ : Somme des racines : x₁ + x₂ = −b/a. Produit des racines : x₁ × x₂ = c/a. Ces formules vous permettent de reconstruire l'équation à partir de ses racines : ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). Applications : vérifier rapidement vos réponses (la somme et le produit devraient correspondre). Factoriser les quadratiques mentalement : pour x² + bx + c = 0, trouver deux nombres qui s'ajoutent à b et se multiplient pour c. Exemple : x² − 5x + 6 = 0 → besoin de nombres s'ajoutant à 5 et se multipliant pour 6 → 2 et 3. Donc x² − 5x + 6 = (x−2)(x−3).