Calculatrice matricielle

Multiplication matricielle A × B : Résultat[i][j] = somme(A[i][k] × B[k][j]) pour tout k. Nécessite : colonnes de A = lignes de B. Taille du résultat : lignes de A × colonnes de B. Exemple : 2×3 × 3×2 = résultat 2×2. NON commutative : A×B ≠ B×A en général. Calcul d'élément : pour A (2×2) × B (2×2) : résultat[0][0] = A[0][0]×B[0][0] + A[0][1]×B[1][0]. Complexité temporelle : O(n³) pour les matrices n×n (Strassen : O(n^2.807), rarement utilisé en pratique pour les petites matrices).

Le déterminant (det ou |A|) est une valeur scalaire qui encode certaines propriétés de la matrice. Pour 2×2 : det([[a,b],[c,d]]) = ad − bc. Pour 3×3 : expansion par cofacteurs. Propriétés : det = 0 : matrice singulière (non inversible). det ≠ 0 : matrice inversible. det(A×B) = det(A) × det(B). det(Aᵀ) = det(A). det(kA) = kⁿ × det(A) pour matrice n×n. Interprétation géométrique : |det| = volume du parallélépipède formé par les vecteurs colonne. Le signe détermine l'orientation. Utilisé dans : règle de Cramer pour résoudre les systèmes linéaires, produits croisés, changement de variables dans les intégrales.

La transposée Aᵀ retourne la matrice sur sa diagonale principale — les lignes deviennent des colonnes. (Aᵀ)[i][j] = A[j][i]. Propriétés : (Aᵀ)ᵀ = A. (A + B)ᵀ = Aᵀ + Bᵀ. (AB)ᵀ = BᵀAᵀ (note l'inversion). (kA)ᵀ = kAᵀ. Matrice symétrique : A = Aᵀ (p. ex., matrice d'identité). Matrice orthogonale : AᵀA = I (transposée = inverse). Applications : la transposée apparaît dans la régression des moindres carrés (XᵀX)⁻¹Xᵀy, la rétropropagation de réseaux de neurones, et les matrices de covariance.

La matrice d'identité I a des 1 sur la diagonale et des 0 partout ailleurs. Pour 3×3 : [[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]. Propriétés : A × I = I × A = A (identité multiplicative). det(I) = 1. Iᵀ = I. I est l'analogue matriciel du nombre 1 en multiplication scalaire. Inverse matriciel : A⁻¹ est la matrice où A × A⁻¹ = I. Seules les matrices carrées avec déterminant non-zéro sont inversibles. Pour 2×2 : A⁻¹ = (1/det) × [[d,-b],[-c,a]] où A = [[a,b],[c,d]].

Pour matrice carrée A : vecteur propre v et valeur propre λ satisfont Av = λv. Le vecteur propre est une direction qui est seulement mise à l'échelle (non pivotée) par la matrice. Les valeurs propres trouvées par : det(A − λI) = 0 (équation caractéristique). Pour matrice 2×2 : cela donne une équation quadratique → 2 valeurs propres (possiblement complexes). Applications : ACP (analyse en composantes principales) en apprentissage automatique utilise les vecteurs propres de la matrice de covariance. L'algorithme PageRank est un problème de vecteur propre. Mécanique quantique : les observables sont les valeurs propres des opérateurs. Théorie des graphes : le clustering spectral utilise les vecteurs propres de la matrice d'adjacence/Laplacienne.