Calculadora de Matrizes

Multiplicação de matrizes A × B: Resultado[i][j] = soma(A[i][k] × B[k][j]) para todo k. Requer: colunas de A = linhas de B. Tamanho do resultado: linhas de A × colunas de B. Exemplo: 2×3 × 3×2 = resultado 2×2. NÃO comutativa: A×B ≠ B×A em geral. Cálculo de elemento: para A (2×2) × B (2×2): resultado[0][0] = A[0][0]×B[0][0] + A[0][1]×B[1][0]. Complexidade de tempo: O(n³) para matrizes n×n (Strassen: O(n^2.807), raramente usado na prática para matrizes pequenas).

O determinante (det ou |A|) é um valor escalar que codifica certas propriedades da matriz. Para 2×2: det([[a,b],[c,d]]) = ad − bc. Para 3×3: expansão de cofator. Propriedades: det = 0: matriz é singular (não invertível). det ≠ 0: matriz é invertível. det(A×B) = det(A) × det(B). det(Aᵀ) = det(A). det(kA) = kⁿ × det(A) para matriz n×n. Interpretação geométrica: |det| = volume do paralelepípedo formado pelos vetores coluna. O sinal determina orientação. Usado em: regra de Cramer para resolver sistemas lineares, produtos cruzados, mudança de variáveis em integrais.

Transposta Aᵀ inverte a matriz sobre sua diagonal principal — linhas se tornam colunas. (Aᵀ)[i][j] = A[j][i]. Propriedades: (Aᵀ)ᵀ = A. (A + B)ᵀ = Aᵀ + Bᵀ. (AB)ᵀ = BᵀAᵀ (note reversão). (kA)ᵀ = kAᵀ. Matriz simétrica: A = Aᵀ (p.ex., matriz identidade). Matriz ortogonal: AᵀA = I (transposta = inversa). Aplicações: transposta aparece em regressão de mínimos quadrados (XᵀX)⁻¹Xᵀy, retropropagação de rede neural e matrizes de covariância.

A matriz identidade I tem 1s na diagonal e 0s em todos os outros lugares. Para 3×3: [[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]. Propriedades: A × I = I × A = A (identidade multiplicativa). det(I) = 1. Iᵀ = I. I é o análogo de matriz do número 1 em multiplicação escalar. Inversa de matriz: A⁻¹ é a matriz onde A × A⁻¹ = I. Apenas matrizes quadradas com determinante não-zero são invertíveis. Para 2×2: A⁻¹ = (1/det) × [[d,-b],[-c,a]] onde A = [[a,b],[c,d]].

Para matriz quadrada A: autovetor v e autovalor λ satisfazem Av = λv. O autovetor é uma direção que é apenas escalada (não rotacionada) pela matriz. Autovalores encontrados por: det(A − λI) = 0 (equação característica). Para matriz 2×2: isso dá uma equação quadrática → 2 autovalores (possivelmente complexos). Aplicações: PCA (análise de componente principal) em aprendizado de máquina usa autovetores de matriz de covariância. Algoritmo PageRank é um problema de autovetor. Mecânica quântica: observáveis são autovalores de operadores. Teoria de grafos: agrupamento espectral usa autovetores de matriz de adjacência/Laplaciana.