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Solucionador de Equações Quadráticas

Resolva equações quadráticas ax² + bx + c = 0 usando a fórmula quadrática. Mostra raízes reais e complexas, discriminante, vértice e solução passo a passo.

ax² + bx + c = 0

Two Real Roots (Δ > 0)

1x² -5x +6 = 0

x1 = 3

x2 = 2

Discriminant (Δ)

1

Vertex x (axis of symmetry)

2.5

Vertex y (min/max)

-0.25

Parabola opens

Upward ∪ (minimum)

Sum of roots (−b/a)

5

Product of roots (c/a)

6

Step-by-Step Solution
1.

Equation: 1x² -5x +6 = 0

2.

Discriminant: Δ = b² − 4ac = -5² − 4(1)(6) = 25 − 24 = 1

3.

Δ > 0 → Two distinct real roots

4.

x = (−b ± √Δ) / 2a = (−(-5) ± √1) / (2 × 1)

5.

x = (5 ± 1.00000) / 2

6.

x₁ = 3.0000000, x₂ = 2.0000000

7.

Vertex: (2.50000, -0.250000)

8.

Axis of symmetry: x = 2.50000

Como Usar Solucionador de Equações Quadráticas

  1. 1Digite os coeficientes a, b e c para a equação ax² + bx + c = 0.
  2. 2Veja o discriminante, as raízes (reais ou complexas) e o vértice.
  3. 3Veja a solução passo a passo usando a fórmula quadrática.
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Perguntas Frequentes

O que é uma equação quadrática?▾
Uma equação quadrática é uma equação polinomial de grau 2: ax² + bx + c = 0, onde a ≠ 0. O termo "quadrática" vem de "quadratum" (latim: quadrado). Exemplos: x² − 5x + 6 = 0, 2x² + 3x − 2 = 0, x² + 1 = 0. Aplicações do mundo real: movimento de projéteis (altura = −16t² + vt + h₀), maximização de lucro (curvas de receita − custo), problemas de área (retângulo com área dada), física (aceleração, força). Cada quadrática tem exatamente 2 raízes (contando multiplicidade), que podem ser reais ou complexas.
Como funciona a fórmula quadrática?▾
Para ax² + bx + c = 0: x = [−b ± √(b² − 4ac)] / (2a). O "±" dá duas soluções: x₁ = (−b + √discriminante) / 2a e x₂ = (−b − √discriminante) / 2a. Derivação completando o quadrado: ax² + bx + c = 0 → x² + (b/a)x = −c/a → (x + b/2a)² = (b² − 4ac)/(4a²) → x = (−b ± √(b²−4ac))/(2a). Descoberta independentemente por Al-Khwarizmi (~820 AD) e outros. O discriminante b²−4ac determina a natureza das raízes.
O que o discriminante diz a você?▾
Discriminante (Δ) = b² − 4ac. Se Δ > 0: duas raízes reais distintas. A parábola cruza o eixo x em dois pontos. Se Δ = 0: uma raiz real repetida (raiz dupla). A parábola toca o eixo x em exatamente um ponto (vértice). Se Δ < 0: duas raízes complexas conjugadas (a ± bi). A parábola não cruza o eixo x. Exemplo: x² − 5x + 6 = 0 → Δ = 25 − 24 = 1 > 0 → duas raízes reais (2 e 3). x² − 2x + 1 = 0 → Δ = 4 − 4 = 0 → uma raiz (1). x² + 1 = 0 → Δ = 0 − 4 = −4 → raízes complexas (±i).
O que é o vértice de uma parábola?▾
O vértice é o ponto máximo ou mínimo da parábola y = ax² + bx + c. Coordenada x do vértice: h = −b/(2a) (eixo de simetria). Coordenada y do vértice: k = c − b²/(4a) = f(h). Se a > 0: parábola abre para cima, vértice é um mínimo. Se a < 0: parábola abre para baixo, vértice é um máximo. Forma do vértice: y = a(x − h)² + k. A coordenada x do vértice é também a média das duas raízes: h = (x₁ + x₂)/2. Pelas fórmulas de Vieta: x₁ + x₂ = −b/a e x₁ × x₂ = c/a.
O que são as fórmulas de Vieta?▾
Para ax² + bx + c = 0 com raízes x₁, x₂: Soma das raízes: x₁ + x₂ = −b/a. Produto das raízes: x₁ × x₂ = c/a. Essas permitem reconstruir a equação a partir de suas raízes: ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). Aplicações: verificar rapidamente suas respostas (soma e produto devem corresponder). Fatorar quadráticas mentalmente: para x² + bx + c = 0, encontre dois números que somam a b e multiplicam a c. Exemplo: x² − 5x + 6 = 0 → precisa de números somando 5 e multiplicando 6 → 2 e 3. Então x² − 5x + 6 = (x−2)(x−3).