マトリックス計算機

行列の乗算A × B：Result[i][j] = sum(A[i][k] × B[k][j])すべてのkに対して。要件：Aの列=Bの行。結果のサイズ：Aの行×Bの列。例：2×3×3×2=2×2の結果。可換ではありません：A×B≠B×A一般的に。要素計算：A（2×2）×B（2×2）の場合：result[0][0] = A[0][0]×B[0][0] + A[0][1]×B[1][0]。時間計算量：n×n行列のO（n³）（Strassen：O（n^2.807）、実際には小規模な行列ではめったに使用されません）。

行列式（detまたは|A|）は、行列の特定のプロパティをエンコードするスカラー値です。2×2の場合：det([[a,b],[c,d]]) = ad − bc。3×3の場合：補因子展開。プロパティ：det = 0：行列は特異行列です（反転不可）。det≠0：行列は可逆です。det（A×B）= det（A）×det（B）。det（Aᵀ）= det（A）。det（kA）= kⁿ×det（A）n×n行列の場合。幾何学的解釈：|det| =列ベクトルによって形成される平行六面体のボリューム。符号は方向を決定します。使用：連立方程式を解くためのクラメルの法則、外積、積分における変数の変更。

転置Aᵀは行列をメインの対角線上でフリップします — 行は列になります。（Aᵀ）[i][j] = A[j][i]。プロパティ：（Aᵀ）ᵀ = A。（A + B）ᵀ = Aᵀ + Bᵀ。（AB）ᵀ = BᵀAᵀ（反転に注意）。（kA）ᵀ = kAᵀ。対称行列：A = Aᵀ（例：単位行列）。直交行列：AᵀA = I（転置=逆）。アプリケーション：転置は最小二乗回帰（XᵀX）⁻¹Xᵀyに表示され、ニューラルネットワークのバックプロパゲーション、および共分散行列に表示されます。

単位行列Iの対角線上に1があり、他の場所には0があります。3×3の場合：[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]。プロパティ：A×I=I×A=A（乗法単位元）。det（I）= 1。Iᵀ = I。Iはスカラー乗算における数値1の行列アナログです。行列逆元：A⁻¹は、A×A⁻¹=Iである行列です。0以外の行列式を持つ正方行列のみが反転可能です。2×2の場合：A⁻¹=（1/det）×[[d,-b],[-c,a]]ここでA=[[a,b],[c,d]]。

正方行列Aの場合：固有ベクトルvと固有値λはAv=λvを満たします。固有ベクトルは、行列によってスケール（回転ではなく）される方向です。固有値は次のように見つかります：det（A − λI）= 0（特性方程式）。2×2行列の場合：これは2次方程式を与えます→2つの固有値（おそらく複素数）。アプリケーション：機械学習のPCA（主成分分析）は共分散行列の固有ベクトルを使用します。PageRankアルゴリズムは固有ベクトル問題です。量子力学：観測可能物は演算子の固有値です。グラフ理論：スペクトルクラスタリングは隣接行列/ラプラシアン行列の固有ベクトルを使用します。