二次方程式ソルバー

二次方程式は、2 次の多項式方程式です: ax² + bx + c = 0、ここで a ≠ 0 です。「二次」という用語は「quadratum」(ラテン語: 正方形) に由来します。例: x² − 5x + 6 = 0、2x² + 3x − 2 = 0、x² + 1 = 0。実世界の応用: 発射物の運動 (高さ = −16t² + vt + h₀)、利益最大化 (収益 - コスト曲線)、面積の問題 (指定された面積の長方形)、物理学 (加速度、力)。すべての二次方程式には、重複度を含めて正確に 2 つの根があります。これらは実数または複素数である可能性があります。

ax² + bx + c = 0 の場合: x = [−b ± √(b² − 4ac)] / (2a)。「±」は 2 つの解を与えます: x₁ = (−b + √判別式) / 2a と x₂ = (−b − √判別式) / 2a。平方を完成させることによる導出: ax² + bx + c = 0 → x² + (b/a)x = −c/a → (x + b/2a)² = (b² − 4ac)/(4a²) → x = (−b ± √(b²−4ac))/(2a)。Al-Khwarizmi (~820 年) およびその他により独立して発見されました。判別式 b²−4ac は根の性質を決定します。

判別式 (Δ) = b² − 4ac。Δ > 0 の場合: 2 つの異なる実数根。放物線は x 軸と 2 つの点で交わります。Δ = 0 の場合: 1 つの重複実数根 (二重根)。放物線は x 軸と正確に 1 つの点で接します (頂点)。Δ < 0 の場合: 2 つの複素共役根 (a ± bi)。放物線は x 軸と交わりません。例: x² − 5x + 6 = 0 → Δ = 25 − 24 = 1 > 0 → 2 つの実根 (2 と 3)。x² − 2x + 1 = 0 → Δ = 4 − 4 = 0 → 1 つの根 (1)。x² + 1 = 0 → Δ = 0 − 4 = −4 → 複素根 (±i)。

頂点は放物線 y = ax² + bx + c の最大値または最小値です。頂点の x 座標: h = −b/(2a) (対称軸)。頂点の y 座標: k = c − b²/(4a) = f(h)。a > 0 の場合: 放物線は上に開き、頂点は最小値です。a < 0 の場合: 放物線は下に開き、頂点は最大値です。頂点形式: y = a(x − h)² + k。頂点の x 座標は、2 つの根の平均でもあります: h = (x₁ + x₂)/2。Vieta の公式により: x₁ + x₂ = −b/a および x₁ × x₂ = c/a。

ax² + bx + c = 0 で根 x₁、x₂ の場合: 根の合計: x₁ + x₂ = −b/a。根の積: x₁ × x₂ = c/a。これらは根から方程式を再構築することができます: ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂)。アプリケーション: 素早く答えをチェック (合計と積は一致する必要があります)。二次方程式を心理的に因数分解: x² + bx + c = 0 の場合、b に加算され c に乗じられる 2 つの数を見つけます。例: x² − 5x + 6 = 0 → 5 に加算され 6 に乗じられる数が必要です → 2 と 3。したがって x² − 5x + 6 = (x−2)(x−3)。