Matrix-Rechner
Führen Sie Matrixoperationen durch: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Transposition und Determinante. Unterstützt 2×2 bis 4×4 Matrizen mit schrittweisen Ergebnissen.
Matrix A
Matrix B
Result
A × B
19
22
43
50
So verwenden Sie Matrix-Rechner
- 1Wählen Sie die Matrixgröße (2×2 bis 4×4).
- 2Geben Sie Werte für Matrix A ein (und Matrix B für binäre Operationen).
- 3Wählen Sie eine Operation: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Transposition oder Determinante.
ZenovayAnalytics
Analytics, für Gründer gebaut.
- Besucher-Tracking in Echtzeit
- Datenschutz zuerst, kein Cookie-Banner
- In zwei Minuten eingerichtet
Verwandte Tools
JSON-Formatter und Validator
Formatieren, validieren und verschönern Sie JSON-Daten mit Syntaxhervorhebung und Fehlererkennung.JWT-Decoder
Dekodieren und inspizieren Sie JWT-Token. Zeigen Sie Header, Payload und überprüfen Sie Signaturen.Base64 Encode/Decode
Kodieren Sie Text in Base64 oder dekodieren Sie Base64 zurück in Text. Unterstützt UTF-8 und Binärdaten.URL Codierungstool
Codieren oder decodieren Sie URL-Komponenten. Verarbeiten Sie Sonderzeichen, Abfragezeichenfolgen und vollständige URLs.Häufig gestellte Fragen
Wie funktioniert Matrizenmultiplikation?▾
Matrizenmultiplikation A × B: Result[i][j] = sum(A[i][k] × B[k][j]) für alle k. Erforderlich: Spalten von A = Zeilen von B. Ergebnisgröße: Zeilen von A × Spalten von B. Beispiel: 2×3 × 3×2 = 2×2 Ergebnis. NICHT kommutativ: A×B ≠ B×A im Allgemeinen. Elementberechnung: für A (2×2) × B (2×2): result[0][0] = A[0][0]×B[0][0] + A[0][1]×B[1][0]. Zeitkomplexität: O(n³) für n×n-Matrizen (Strassen: O(n^2.807), in der Praxis für kleine Matrizen selten verwendet).
Was ist die Determinante einer Matrix?▾
Die Determinante (det oder |A|) ist ein Skalarwert, der bestimmte Eigenschaften der Matrix kodiert. Für 2×2: det([[a,b],[c,d]]) = ad − bc. Für 3×3: Cofaktor-Entwicklung. Eigenschaften: det = 0: Matrix ist singulär (nicht invertierbar). det ≠ 0: Matrix ist invertierbar. det(A×B) = det(A) × det(B). det(Aᵀ) = det(A). det(kA) = kⁿ × det(A) für n×n-Matrix. Geometrische Interpretation: |det| = Volumen des Parallelepiped, das durch Spaltenvektoren gebildet wird. Das Vorzeichen bestimmt die Orientierung. Verwendet in: Cramers Regel zum Lösen linearer Systeme, Kreuzprodukte, Variablenwechsel in Integralen.
Was ist die Transponierte einer Matrix?▾
Transponierte Aᵀ spiegelt die Matrix über ihre Hauptdiagonale — Zeilen werden zu Spalten. (Aᵀ)[i][j] = A[j][i]. Eigenschaften: (Aᵀ)ᵀ = A. (A + B)ᵀ = Aᵀ + Bᵀ. (AB)ᵀ = BᵀAᵀ (beachten Sie die Umkehrung). (kA)ᵀ = kAᵀ. Symmetrische Matrix: A = Aᵀ (z.B. Identitätsmatrix). Orthogonale Matrix: AᵀA = I (Transponierte = Inverse). Anwendungen: Transponierte erscheint bei kleinsten Quadraten Regression (XᵀX)⁻¹Xᵀy, neuronale Netzwerk-Backpropagation und Kovarianzmatrizen.
Was ist die Identitätsmatrix?▾
Die Identitätsmatrix I hat 1en auf der Diagonale und 0en überall sonst. Für 3×3: [[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]. Eigenschaften: A × I = I × A = A (Multiplikatives Identitätselement). det(I) = 1. Iᵀ = I. I ist das Matrix-Analogon der Zahl 1 bei skalarer Multiplikation. Matrix-Inverse: A⁻¹ ist die Matrix, wobei A × A⁻¹ = I. Nur quadratische Matrizen mit nicht-null Determinante sind invertierbar. Für 2×2: A⁻¹ = (1/det) × [[d,-b],[-c,a]] wobei A = [[a,b],[c,d]].
Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren?▾
Für quadratische Matrix A: Eigenvektor v und Eigenwert λ erfüllen Av = λv. Der Eigenvektor ist eine Richtung, die nur durch die Matrix skaliert wird (nicht gedreht). Eigenwerte gefunden durch: det(A − λI) = 0 (Charakteristisches Polynom). Für 2×2-Matrix: dies ergibt eine quadratische Gleichung → 2 Eigenwerte (möglicherweise komplex). Anwendungen: PCA (Hauptkomponentenanalyse) im maschinellen Lernen verwendet Eigenvektoren der Kovarianzmatrix. PageRank-Algorithmus ist ein Eigenvektorproblem. Quantenmechanik: Observablen sind Eigenwerte von Operatoren. Graphentheorie: Spektrales Clustering verwendet Eigenvektoren der Adjazenz-/Laplace-Matrix.