Quadratischer Gleichungslöser

Eine quadratische Gleichung ist eine Polynomgleichung zweiten Grades: ax² + bx + c = 0, wobei a ≠ 0. Der Begriff "quadratisch" stammt aus dem Lateinischen "quadratum" (Quadrat). Beispiele: x² − 5x + 6 = 0, 2x² + 3x − 2 = 0, x² + 1 = 0. Praktische Anwendungen: Projektilbewegung (Höhe = −16t² + vt + h₀), Gewinnmaximierung (Umsatz − Kostenkurven), Flächenprobleme (Rechteck mit gegebener Fläche), Physik (Beschleunigung, Kraft). Jede quadratische Gleichung hat genau 2 Wurzeln (unter Berücksichtigung der Vielfachheit), die reell oder komplex sein können.

Für ax² + bx + c = 0: x = [−b ± √(b² − 4ac)] / (2a). Das Symbol "±" ergibt zwei Lösungen: x₁ = (−b + √Diskriminante) / 2a und x₂ = (−b − √Diskriminante) / 2a. Herleitung durch quadratische Ergänzung: ax² + bx + c = 0 → x² + (b/a)x = −c/a → (x + b/2a)² = (b² − 4ac)/(4a²) → x = (−b ± √(b²−4ac))/(2a). Unabhängig voneinander entdeckt von Al-Chwarizmi (~820 n.Chr.) und anderen. Die Diskriminante b²−4ac bestimmt die Art der Wurzeln.

Diskriminante (Δ) = b² − 4ac. Wenn Δ > 0: zwei verschiedene reelle Wurzeln. Die Parabel schneidet die x-Achse an zwei Punkten. Wenn Δ = 0: eine wiederholte reelle Wurzel (Doppelwurzel). Die Parabel berührt die x-Achse an genau einem Punkt (Scheitelpunkt). Wenn Δ < 0: zwei komplexe konjugierte Wurzeln (a ± bi). Die Parabel schneidet die x-Achse nicht. Beispiel: x² − 5x + 6 = 0 → Δ = 25 − 24 = 1 > 0 → zwei reelle Wurzeln (2 und 3). x² − 2x + 1 = 0 → Δ = 4 − 4 = 0 → eine Wurzel (1). x² + 1 = 0 → Δ = 0 − 4 = −4 → komplexe Wurzeln (±i).

Der Scheitelpunkt ist der Maximum- oder Minimumpunkt der Parabel y = ax² + bx + c. x-Koordinate des Scheitelpunkts: h = −b/(2a) (Symmetrieachse). y-Koordinate des Scheitelpunkts: k = c − b²/(4a) = f(h). Wenn a > 0: Die Parabel öffnet sich nach oben, der Scheitelpunkt ist ein Minimum. Wenn a < 0: Die Parabel öffnet sich nach unten, der Scheitelpunkt ist ein Maximum. Scheitelpunktform: y = a(x − h)² + k. Die x-Koordinate des Scheitelpunkts ist auch der Durchschnitt der beiden Wurzeln: h = (x₁ + x₂)/2. Nach den Formeln von Vieta: x₁ + x₂ = −b/a und x₁ × x₂ = c/a.

Für ax² + bx + c = 0 mit den Wurzeln x₁, x₂: Summe der Wurzeln: x₁ + x₂ = −b/a. Produkt der Wurzeln: x₁ × x₂ = c/a. Mit diesen können Sie die Gleichung aus ihren Wurzeln rekonstruieren: ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). Anwendungen: schnelle Überprüfung Ihrer Antworten (Summe und Produkt sollten passen). Faktorisieren Sie quadratische Ausdrücke im Kopf: Für x² + bx + c = 0 finden Sie zwei Zahlen, die sich zu b addieren und zu c multiplizieren. Beispiel: x² − 5x + 6 = 0 → Zahlen, die sich zu 5 addieren und zu 6 multiplizieren → 2 und 3. Also x² − 5x + 6 = (x−2)(x−3).